Question

4．根据极限定义证明：函数f（x）当x→x₀时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并相等．

Answer 1

分析 x→x₀，便是指x从x₀的左边趋向x₀，和x从x₀的右边趋向x₀，反过来x从左边趋向x₀，和x从右边趋向x₀，便说明x趋向x₀，知道了这点，然后根据函数f（x）在x趋向x₀的极限的定义，和左右极限的定义即可证明出函数f（x）当x→x₀时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并相等．

解答 证明：（1）若函数f（x）当x→x₀时极限存在，设$\underset{lim}{x→{x}_{0}}f（x）=a$；
∴x→x₀即：x从左边趋向x₀，和从右边趋向x₀时，f（x）趋向a；
根据左极限、右极限的定义得：$\underset{lim}{x→{{x}_{0}}^{-}}f（x）=\underset{lim}{x→{{x}_{0}}^{+}}f（x）=a$，即f（x）的左右极限都存在并且相等；
∴函数f（x）当x→x₀时极限存在的必要条件是左右极限都存在并且相等；
（2）若f（x）的左极限、右极限各自存在并相等，设$\underset{lim}{x→{{x}_{0}}^{-}}f（x）=\underset{lim}{x→{{x}_{0}}^{+}}f（x）=a$；
∴x从左边趋向x₀和x从右边趋向x₀，即x趋向x₀时，f（x）趋向a；
∴$\underset{lim}{x→{x}_{0}}f（x）=a$，即函数f（x）当x→x₀时极限存在；
∴函数f（x）当x→x₀时极限存在的充分条件是左右极限存在且相等；
综上可得函数f（x）当x→x₀时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并相等．

点评 考查函数f（x）在x趋向x₀时的极限和f（x）在x₀的左右极限的定义，清楚x趋向x₀的含义，以及充分条件、必要条件，和充要条件的定义．