Question

15．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆x²+y²=5有公共点A（1，2），且圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出圆的切线方程，利用圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行关系，推出双曲线的离心率．

解答 解：圆x²+y²=5有公共点A（1，2），K_OA=2，圆在A点的切线方程的斜率为：$-\frac{1}{2}$，
圆在A点的切线为：y-2=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-5=0，
圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，并且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，
可得$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，可得e²=$\frac{5}{4}$，e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题看双曲线与圆的位置关系，双曲线的离心率的求法，圆的切线方程的应用，考查计算能力．