Question

18．方程cos²x+cos²2x+cos²4x+cos²8x=$\sqrt{\frac{sin16x}{sinx}}$的解集是{x|x=2kπ，k∈Z}．

Answer 1

分析 利用二倍角正弦把等式右边变形，然后结合不等式成立的条件可得答案．

解答 解：由方程cos²x+cos²2x+cos²4x+cos²8x=$\sqrt{\frac{sin16x}{sinx}}$，
得：cos²x+cos²2x+cos²4x+cos²8x=4$\sqrt{cosx•cos2x•cos4x•cos8x}$=4$\sqrt{|cosx•cos2x•cos4x•cos8x|}$，
∵cos²x+cos²2x+cos²4x+cos²8x$≥4\root{4}{co{s}^{2}x•co{s}^{2}2x•co{s}^{2}4x•co{s}^{2}8x}$=$4\sqrt{|cosx•cos2x•cos4x•cos8x|}$．
当且仅当cos²x=cos²2x=cos²4x=cos²8x，即|cosx|=|cos2x|=cos4x|=cos8x|时上式“=”成立．
∴x=2kπ，k∈Z．
∴方程cos²x+cos²2x+cos²4x+cos²8x=$\sqrt{\frac{sin16x}{sinx}}$的解集是{x|x=2kπ，k∈Z}．
故答案为：{x|x=2kπ，k∈Z}．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了基本不等式成立的条件，考查了三角函数的求值，是中档题．