Question

10．已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x＜0时，f（x）满足2f（x）+xf′（x）＜xf（x），则f（x）在R上的零点的个数为0．

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$ （x＜0），求函数的导数，利用导数判断其单调性，结合函数为奇函数，即可得出结论．

解答 解：构造函数F（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$ （x＜0），
则F′（x）=$\frac{2xf（x）{e}^{x}+{x}^{2}f′（x）{e}^{x}-{x}^{2}f（x）{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{x[2f（x）+xf′（x）-xf（x）]}{{e}^{x}}$，
∵当x＜0时，f（x）满足2f（x）+xf′（x）＜xf（x），
∴F′（x）＞0，
即函数F（x）在x＜0时是增函数，
又F（0）=0，
∴当x＜0，F（x）＜F（0）=0成立，
∵对任意x＜0，$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$＞0，∴f（x）＜0，
∵f（x）是奇函数，
∴x＞0时，f（x）＞0，
即f（x）=0只有一个根就是0．
故答案为：0

点评 本题考查了函数零点个数求解；根据条件构造函数F（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$是解决本题的关键．综合考查函数单调性和导数的关系．