Question

20．设数列{a_n}的首项为10，其前n项和S_n满足3S_n+1=3S_n+2a_n，数列{lga_n}的前n项和T_n的最大值为6+15lg$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得数列{a_n}是首项为10，公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，求其通项公式后代入数列{lga_n}，利用对数的运算性质结合等差数列前n项和整理，再由二次函数求得数列{lga_n}的前n项和T_n的最大值．

解答 解：由3S_n+1=3S_n+2a_n，得3（S_n+1-S_n）=2a_n，
即3a_n+1=2a_n，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2}{3}$．
∴数列{a_n}是首项为10，公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，
则${a}_{n}=10•（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
∴T_n=lga₁+lga₂+…+lga_n=lg（a₁a₂…a_n）
=$lg[1{0}^{n}（\frac{2}{3}）^{1+2+…+（n-1）}]$=$lg[1{0}^{n}（\frac{2}{3}）^{\frac{n（n-1）}{2}}]$
=n+$\frac{{n}^{2}-n}{2}lg\frac{2}{3}$=$\frac{{n}^{2}}{2}lg\frac{2}{3}+（1-\frac{1}{2}lg\frac{2}{3}）n$．
对称轴方程为n=$-\frac{1-\frac{1}{2}lg\frac{2}{3}}{2•\frac{1}{2}lg\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{lg2-lg3}$．
∵n∈N^*，
∴当n=6时，数列{lga_n}的前n项和T_n的最大值为$\frac{{6}^{2}}{2}lg\frac{2}{3}+（1-\frac{1}{2}lg\frac{2}{3}）×6=6+15lg\frac{2}{3}$．
故答案为：6+15lg$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，训练了二次函数的最值的求法，是中档题．