Question

若x，y是正实数，则

x+y

2x+y

+

x

x+2y

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题,导数的综合应用

分析：根据题意，设

x

y

=t（t＞0），把

x+y

2x+y

+

x

x+2y

化为函数f（t）=

t+1

2t+1

+

t

t+2

（t＞0），利用导数求出f（t）的最小值即可．

解答： 解：根据题意，设

x

y

=t（t＞0），
∴

x+y

2x+y

+

x

x+2y

=

x y +1

2• x y +1

+

x y

x y +2

；
∴函数f（t）=

t+1

2t+1

+

t

t+2

（t＞0），
∴f′（t）=

(2t+1)-2(t+1)

(2t+1)2

+

(t+2)-t

(t+2)2

=

2

(t+2)2

-

1

(2t+1)2

；
令f′（x）=0，
解得t=

2- 2

2 2 -1

，
∴当t=

2- 2

2 2 -1

时，

t+1

2t+1

=

2- 2 2 2 -1 +1

2(2- 2 ) 2 2 -1 +1

=

1+ 2

3

，

t

t+2

=

2- 2 2 2 -1

2- 2 2 2 -1 +2

=

2 -1

3

；
此时f（t）取得最小值，
∴f（t）_min=

1+ 2

3

+

2 -1

3

=

2 2

3

；
即

x+y

2x+y

+

x

x+2y

的最小值是

2 2

3

．
故答案为：

2 2

3

．

点评：本题考查了利用导数求函数的最值问题，解题时应根据题意，构造函数，利用函数的导数求出函数的最值，是有些难度的计算题．