Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，且a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，则通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得S_n=n²a_n，当n≥2时，S_n-1=（n-1）²a_n-1，两式相减得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，从而

an

an-1

=

n-1

n+1

，由此利用累乘法能求出通项公式a_n．

解答： 解：∵数列{a_n}的前n项的和S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴S_n=n²a_n，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²a_n-1，两式相减得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，
故

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴

an

a1

=

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

=

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

2

n(n+1)

，
∵a₁=

1

2

，a_n=

1

n(n+1)

，
当n=1时，也满足上式，故a_n=

1

n(n+1)

对任意n∈N₊成立．
故答案为：

1

n(n+1)

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意累乘法的合理运用．