Question

20．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点F重合，且点F到直线x-y+1=0的距离为$\sqrt{2}$，C₁与C₂的公共弦长为2$\sqrt{6}$．
（1）求椭圆C₁的方程及点F的坐标；
（2）过点F的直线l与C₁交于A，B两点，与C₂交于C，D两点，求$\frac{1}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{1}{|\overrightarrow{CD}|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，可得c=$\frac{p}{2}$，再由点到直线的距离公式可得c=1，可得焦点F，求得抛物线的方程，设出
设C₁与C₂的公共弦端点为（m，n），（m，-n），（m，n＞0），由弦长求得交点坐标，代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设过F（1，0）的直线为x=my+1，代入抛物线的方程y²=4x，椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|CD|，|AB|，求得$\frac{1}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{1}{|\overrightarrow{CD}|}$，化简整理，即可得到所求范围．

解答 解：（1）抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
即有c=$\frac{p}{2}$，
点F到直线x-y+1=0的距离为$\sqrt{2}$，可得d=$\frac{|c+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有c=1，p=2，即F（1，0）；
即有y²=4x，
设C₁与C₂的公共弦端点为（m，n），（m，-n），（m，n＞0），
则2n=2$\sqrt{6}$，可得n=$\sqrt{6}$，m=$\frac{3}{2}$，
将（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$）代入椭圆方程可得，$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{6}{{b}^{2}}$=1，
又a²-b²=1，解得a=3，b=2$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）设过F（1，0）的直线为x=my+1，
代入抛物线的方程y²=4x，可得y²-4my-4=0，
由弦长公式可得|CD|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4（1+m²），
由x=my+1代入椭圆方程8x²+9y²=72，可得
（8m²+9）y²+16my-64=0，
由弦长公式可得|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-16m}{9+8{m}^{2}}）^{2}+\frac{256}{8{m}^{2}+9}}$
=$\frac{48（1+{m}^{2}）}{8{m}^{2}+9}$，
可得$\frac{1}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{1}{|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{1}{4（1+{m}^{2}）}$+$\frac{8{m}^{2}+9}{48（1+{m}^{2}）}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{13}{48（1+{m}^{2}）}$，
由1+m²≥1，可得0＜$\frac{13}{48（1+{m}^{2}）}$≤$\frac{13}{48}$，
即有$\frac{1}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{1}{|\overrightarrow{CD}|}$的取值范围为（$\frac{1}{6}$，$\frac{7}{16}$]．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和点满足椭圆方程，同时考查直线和抛物线方程、椭圆方程联立，运用弦长公式和不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．