题目内容

要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户（如图所示），在窗框总长度为l的条件下，
（1）请写出窗户的面积S与圆的直径x的函数关系；
（2）要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？并写出最大值．

解：（1）设半圆的直径为x，矩形的高度为y，
窗户透光面积为S，
则窗框总长l= $\text{[math]}$ +x+2y
∴y= $\text{[math]}$
S= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ •x
∴S=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ （0＜x＜ $\text{[math]}$ ）
（2）S=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
当x= $\text{[math]}$ 时，S_max= $\text{[math]}$
此时，y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …7分
答：窗户中的矩形高为 $\text{[math]}$ ，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．
分析：（1）窗户的面积S由两部分组成，一部分是半圆，一部分是矩形，分别求出它们的面积，相加即可得到窗户的面积S与圆的直径x的函数关系；
（2）根据二次函数的性质可求出面积关于直径x的函数的最值，然后求出取最值时相应的x即可．
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及圆的面积和二次函数的性质，同时考查了计算能力，属于中档题．