题目内容
【题目】如图，已知矩形
所在平面与底面
垂直，在直角梯形
中， 
， 
， 
.
(1)求证： 
平面
；
(2)求二面角
的大小.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】试题分析：（1）先证明
，以
， 
， 
为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明
，结合题设根据线面垂直的判定定理可得结论；（2）分别求出平面
与平面
的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.
试题解析：(1)证明：∵矩形
所在平面与底面
垂直，则
底面
.
∵
， 
，则
，如图，以
为坐标原点，以
， 
， 
为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设
，则
， 
， 
， 
，
∵
，则
， 
，
且
，则
平面
.
(2)设平面
的一个法向量为
，由于
， 
，
由
，得
，令
得
.
同理求得平面
的一个法向量为
.
设二面角
的平面角为
，
则
.
又二面角
为锐二面角，所以二面角
的大小是
.
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求法向量二面角及线面垂直的判定，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
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