题目内容
【题目】已知函数
在
处的切线经过点
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
在
单调递减;（2）
【解析】试题分析: (1)利用导数几何意义,求出切线方程,根据切线过点
,求出函数
的解析式; (2)由已知不等式分离出
,得
,令
,求导得出
在
上为减函数,再求出
的最小值,从而得出
的范围.
试题解析:（1）
令
∴
∴
设切点为
代入
∴
∴
∴
在
单调递减
（2）
恒成立
令
∴
在
单调递减
∵
∴
∴
在
恒大于0
∴
点睛: 本题主要考查了导数的几何意义以及导数的应用,包括求函数的单调性和最值,属于中档题. 注意第二问中的恒成立问题,等价转化为求
的最小值,直接求
的最小值比较复杂,所以先令
,求出在
上的单调性,再求出
的最小值,得到
的范围.
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