Question

已知函数f（x）=

x2+x+4 x ，(x＞0) - x2-x+4 x ，(x＜0)

，
（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）判断函数f（x）分别在区间（0，2]、[2，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）若1≤|x₁|≤4，1≤|x₂|≤4，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明函数f（x）是偶函数；
（2）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）分别在区间（0，2]、[2，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可证明不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

解答： 解：（1）当x＞0时，-x＜0，
则f（x）=

x2+x+4

x

，f（-x）=-

x2+x+4

-x

=

x2+x+4

x

，
∴f（-x）=f（x），
  当x＜0时，-x＞0，
则f（x）=-

x2-x+4

x

，f（-x）=-

x2-x+4

x

，
∴f（-x）=f（x）
综上所述，对于x≠0，都有f（-x）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（2）当x＞0时，f（x）=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，
设0＜x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=x₂+

4

x2

+1-x₁-

4

x1

-1=（x₂-x₁）•

x1x2-4

x1x2

，
∵2≤x₁＜x₂，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
当0＜x₁＜x₂≤2时，f（x₂）-f（x₁）＜0
∴函数f（x）在（0，2]上是减函数，函数f（x）在[2，+∞）上是增函数．
（3）由（2）知，当1≤x≤4时，5≤f（x）≤6，又由（1）知，
函数f（x）是偶函数，∴当1≤|x|≤4时，5≤f（x）≤6，
∴若1≤|x₁|≤4，1≤|x₂|≤4，则5≤f（x₁）≤6，5≤f（x₂）≤6，
∴-1≤f（x₁）-f（x₂）≤1，即|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．