题目内容
已知椭圆C：
+
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆C经过点M（
，
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C的任意两条互相垂直的切线的交点P的轨迹方程；
（3）设（2）中的两切点分别为A，B，求点P到直线AB的距离的最大值和最小值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C的任意两条互相垂直的切线的交点P的轨迹方程；
（3）设（2）中的两切点分别为A，B，求点P到直线AB的距离的最大值和最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知得
，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当两切线l1，l2的斜率有一条不存在（另一条必为0）时，点P（±2，±
）；当两切线l1，l2的斜率均存在且不为0时，设l1：y=kx+m，l2：y=-
x+n，设P（x0，y0），则m=y0-kx0，n=y0+
x0，联立
，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由此利用根的判别式，结合已知条件能求出动点P的轨迹方程．
（3）设动点P（x0，y0），则x02+y02=7，直线AB的方程为
+
=1，过B（x2，y2）的切线l2：
+
=1，得直线AB的方程为
+
=1，由此能求出点P到直线AB的距离的最大值和最小值．
|
（2）当两切线l1，l2的斜率有一条不存在（另一条必为0）时，点P（±2，±
| 3 |
| 1 |
| k |
| 1 |
| k |
|
（3）设动点P（x0，y0），则x02+y02=7，直线AB的方程为
| x0x |
| 4 |
| y0y |
| 3 |
| x2x |
| 4 |
| y2y |
| 3 |
| x0x |
| 4 |
| y0y |
| 3 |
解答：
解：（1）∵椭圆C：
+
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点F（1，0）重合，
且椭圆C经过点M（
，
），
∴
，解得a=2，b=
，
∴椭圆C的方程为
+
=1．
（2）①当两切线l1，l2的斜率有一条不存在（另一条必为0）时，
点P（±2，±
）；
②当两切线l1，l2的斜率均存在且不为0时，
设l1：y=kx+m，l2：y=-
x+n，
设P（x0，y0），则m=y0-kx0，（i），n=y0+
x0，（ii）
联立
，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，
∵l1：y=lx+m与椭圆相切，∴△=0，
于是m2=4k2+3，同理n2=
+3，
∴
，整理，得：
，
两式相加，得（k2+1）y02+(k2+1)x02=7(k2+1)，
即x02+y02=7，
P（±2，±3）也在此曲线上，
综上，动点P的轨迹方程为：x2+y2=7．
（3）设动点P（x0，y0），则x02+y02=7，
下先证明直线AB的方程为
+
=1，
设两切点A（x1，y1），B（x2，y2），
设过A（x1，y1）的切线：y-y1=k1（x-x1）代入椭圆方程得：
（3+4k12）x2+8k1（y1+k1x1）x+4（y1-k1x1）2-12=0，
由△=0得，(y1-k1x1)2-3-4k12=0，
又
+
=1，y12=3-
x12，x12=4-
y12，
代入得：（k1y1+
x1）2=0，∴k1=-
，
于是过A（x1，y1）的切线l1：
+
=1，
当过A（x1，y1）的切线斜率不存在时仍然符合上式，
同理过B（x2，y2）的切线l2：
+
=1，
而l1，l2均过P（x0，y0），故
+
=1，
+
=1，
由此可得直线AB的方程为
+
=1，
∴P点到直线AB的距离：
d=
=
=
，
而x02∈[0，7]，∴点P到直线AB的距离的最大值和最小值分别为
，
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
且椭圆C经过点M（
| 3 |
| ||
| 2 |
∴
|
| 3 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）①当两切线l1，l2的斜率有一条不存在（另一条必为0）时，
点P（±2，±
| 3 |
②当两切线l1，l2的斜率均存在且不为0时，
设l1：y=kx+m，l2：y=-
| 1 |
| k |
设P（x0，y0），则m=y0-kx0，（i），n=y0+
| 1 |
| k |
联立
|
∵l1：y=lx+m与椭圆相切，∴△=0，
于是m2=4k2+3，同理n2=
| 4 |
| k2 |
∴
|
|
两式相加，得（k2+1）y02+(k2+1)x02=7(k2+1)，
即x02+y02=7，
P（±2，±3）也在此曲线上，
综上，动点P的轨迹方程为：x2+y2=7．
（3）设动点P（x0，y0），则x02+y02=7，
下先证明直线AB的方程为
| x0x |
| 4 |
| y0y |
| 3 |
设两切点A（x1，y1），B（x2，y2），
设过A（x1，y1）的切线：y-y1=k1（x-x1）代入椭圆方程得：
（3+4k12）x2+8k1（y1+k1x1）x+4（y1-k1x1）2-12=0，
由△=0得，(y1-k1x1)2-3-4k12=0，
又
| x12 |
| 4 |
| y12 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
代入得：（k1y1+
| 3 |
| 4 |
| 3x1 |
| 4y1 |
于是过A（x1，y1）的切线l1：
| x1x |
| 4 |
| y1y |
| 3 |
当过A（x1，y1）的切线斜率不存在时仍然符合上式，
同理过B（x2，y2）的切线l2：
| x2x |
| 4 |
| y2y |
| 3 |
而l1，l2均过P（x0，y0），故
| x1x0 |
| 4 |
| y1y0 |
| 3 |
| x2x0 |
| 4 |
| y2y0 |
| 3 |
由此可得直线AB的方程为
| x0x |
| 4 |
| y0y |
| 3 |
∴P点到直线AB的距离：
d=
|
| ||||||
|
|
| ||||||
|
| ||
|
而x02∈[0，7]，∴点P到直线AB的距离的最大值和最小值分别为
4
| ||
| 7 |
3
| ||
| 7 |
点评：本题考查椭圆C的方程，考查点的轨迹方程，考查点到直线AB的距离的最大值和最小值，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
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