Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：在上为增函数；

（Ⅲ）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明如下；（Ⅲ）；

【解析】

试题（Ⅰ）由题可知，当时，函数，求曲线在点处的切线方程，则满足，通过点斜式直线方程，，可求出直线方程；（Ⅱ）当时，函数，求出导数，令，通过对求导，得到的单调性为在上是减函数，在上是增函数，于是函数在时取得最小值，因此，故函数在上为增函数．（Ⅲ）对函数求导，．

令，．对进行讨论，当时，函数在上为增函数，将端点值代入，得到一正一负，即存在为函数在区间上唯一的极小值点，当时，函数在上为增函数，将端点值代入，得到，因此函数无极值点，当时，当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值．

试题解析：解：函数定义域为，．

（Ⅰ）当时，，．

所以．

所以曲线在点处的切线方程是，

即．

（Ⅱ） 当时，．

设，则．

令得，或，注意到，所以．

令得，注意到，得．

所以函数在上是减函数，在上是增函数．

所以函数在时取得最小值，且．

所以在上恒大于零．

于是，当，恒成立．

所以当时，函数在上为增函数．

（Ⅱ）问另一方法提示：当时，．

由于在上成立，即可证明函数在上为增函数．

（Ⅲ）（Ⅱ）．

设，．

（1）当时，在上恒成立，

即函数在上为增函数．

而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使,且在上，，在上，，故为函数在区间上唯一的极小值点;

（2）当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，

故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；

（3）当时，．

当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值．

综上所述．