题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；
（2）在满足（1）的条件下，探究函数f（x）零点的个数；如果有零点，请指出每个零点处于哪两个连续整数之间，并说明理由；
（3）讨论函数f（x）的单调区间．
【答案】分析：（1）先求函数f（x）的导函数，再根据函数f（x）在x=-1处取得极值得到f'（-1）=0，解方程即可；
（2）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，发现极值都大于零，从而函数f（x）有零点且只有一个，又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．
（3）讨论a的值，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间即可．
解答：解：（1）f'（x）=3x2+2ax+1
因为函数f（x）在x=-1处取得极值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2+x+1f'（x）=3x2+4x+1
令f'（x）=3x2+4x+1=0解得
从上表可以看出
，
所以函数f（x）有零点且只有一个
又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．
（3）f'（x）=3x2+2ax+1△=4a2-12=4（a2-3）
当a2≤3，即
时，△≤0，f'（x）≥0，所以函数f（x）在R上是增函数
当a2＞3，即
时，△＞0，解f'（x）=0得两根为
，
（显然x1＜x2）
当x∈（-∞，x1）时f'（x）＞0；x∈（x1，x2）时f'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时f'（x）＞0
所以函数f（x）在
，
上是增函数；
在
上是减函数
综上：当
时，函数f（x）在R上是增函数；
当
时，函数f（x）在
，
上是增函数；在
上是减函数
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件，属于基础题．
（2）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，发现极值都大于零，从而函数f（x）有零点且只有一个，又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．
（3）讨论a的值，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间即可．
解答：解：（1）f'（x）=3x2+2ax+1
因为函数f（x）在x=-1处取得极值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2+x+1f'（x）=3x2+4x+1
令f'（x）=3x2+4x+1=0解得
从上表可以看出
，所以函数f（x）有零点且只有一个
又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．
（3）f'（x）=3x2+2ax+1△=4a2-12=4（a2-3）
当a2≤3，即
时，△≤0，f'（x）≥0，所以函数f（x）在R上是增函数当a2＞3，即
时，△＞0，解f'（x）=0得两根为，（显然x1＜x2）当x∈（-∞，x1）时f'（x）＞0；x∈（x1，x2）时f'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时f'（x）＞0
所以函数f（x）在
，上是增函数；在
上是减函数综上：当
时，函数f（x）在R上是增函数；当
时，函数f（x）在，上是增函数；在上是减函数点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|