Question

设直线x=t与函数f（x）=x²，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意构造函数y=f（x）-g（x），利用导数求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．

解答： 解：设函数y=f（x）-g（x）=x²-lnx（x＞0），
则y′=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，
令y′=0得，x=

2

2

或x=-

2

2

舍去，
所以当0＜x＜

2

2

时，y′＜0，函数在（0，

2

2

）上为单调减函数，
当x＞

2

2

时，y′＞0，函数在（

2

2

，+∞）上为单调增函数，
所以当x=

2

2

时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：

1

2

-ln

2

2

=

1

2

+

1

2

ln2，
则所求t的值为

2

2

，
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，属中档题．