Question

【题目】已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆C交于M、N两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线与圆相切，证明：为定值

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

（1）根据椭圆的有关知识可得，从而可得椭圆的方程；

（2）分直线的斜率存在与否两种情况求解．①当的斜率不存在时，其方程为，可得、的坐标，由向量的数量积可得；②当的斜率存在时，设其方程为，由直线与圆相切得．然后将直线方程与椭圆方程联立、消元，根据根与系数的关系由数量积可得，从而可得．综上可得为定值．

（1）由题意得，

∴椭圆的方程为

（2）①当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，所以直线方程为．

当时，可得M、N两点坐标分别为，

，.

当时，同理可得；

②当的斜率存在时，设，

由题意得，，

由，消去整理得，

∵直线与圆相交，∴

设，则，，

，

.

综上（定值） ．