Question

【题目】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.

（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）首先依据动点的极坐标的关系找到点的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线的参数方程，依据参数的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.

（Ⅰ）设的极坐标为，的极坐标为，

由题设知.所以，

即的极坐标方程，所以的直角坐标方程为.

（Ⅱ）交点，所以直线的参数方程为（为参数），

曲线的直角坐标方程，

代入得：，，

设方程两根为，则分别是对应的参数，

所以.