题目内容
【题目】在直角坐标系
中，已知椭圆
，若圆
的一条切线与椭圆
有两个交点
，且
.
（1）求圆
的方程；
（2）已知椭圆的上顶点为
，点
在圆上，直线
与椭圆相交于另一点
，且
，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为
，点
，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得
，代入
可得出
的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线
也满足题意；
（2）设点
，由
，得
，由
分别在椭圆和圆上，联立方程组解得
后可得直线方程．
（1）设圆的切线为，点.由方程组
得
，得
.因为
，所以
，即
.又因为点在直线上，所以
，即
.所以
，化简得
，所以圆
的半径
，所以圆的方程为.此时，当切线为时，易证满足.
（2）设点，点
，由，得.代入椭圆和圆得
解得
或者
所以点
或
.故直线
的方程为
或
．.
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