题目内容

若 $数学公式$ = $数学公式$ ， $数学公式$ =（sinωx，sinωx），其中ω＞0，记函数f（x）=2 $数学公式$ • $数学公式$ ，f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离为 $数学公式$ ，
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调减区间和f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．

解：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（sinωx，sinωx）
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinωxcosωx+sin²ωx= $\text{[math]}$ sin2ωx+ $\text{[math]}$ （1-cos2ωx）
故f（x）=2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（4分）
（1）∵f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离为 $\text{[math]}$
∴可得 $\text{[math]}$ ，解之得ω=1．…（6分）
（2）由（1）得f （x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）+1
由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$
∴f（x）的单调减区间为 $\text{[math]}$ …（8分）
当2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （k∈Z），即x= $\text{[math]}$ 时，函数的最大值f_max（x）=3
∴f（x）的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简得f（x）= $\text{[math]}$ ，再由正弦函数周期公式，建立ω的等式并解之即可得ω的值；
（2）根据正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到f（x）的单调减区间．再根据正弦函数的值域和函数取最大值时x的取值，解关于x的方程即可得到f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．
点评：本题以向量的数量积运算为载体，给出三角函数式求函数的单调区间和周期，并求取得最大值时x的取值集合，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．