Question

已知函数，（为常数，为自然对数的底）．

 （1）令，，求和；

 （2）若函数在时取得极小值，试确定的取值范围；

  [理]（3）在（2）的条件下，设由的极大值构成的函数为，试判断曲线只可能与直线、（，为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．

Answer 1

解：（1），

（2）

，令，得或，

当时，恒成立，此时单调递减；

当时，，若，则，若，

则，是函数的极小值点； ……4分

     当时，，若，则，若，则，

     此时是函数的极大值点，

综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是

［理］（3）由（Ⅰ）知，且当时，，

因此是的极大值点，，

于是……8分

，

令，

则恒成立，即在是增函数，

所以当时，，即恒有，

又直线的斜率为，直线的斜率为，

所以由导数的几何意义知曲线只可能与直线相切