题目内容

P为△ABC内一点，且
PA
+3
PB
+7
PC
=
0
，则△PAC与△ABC面积的比为
3
11
3
11
．
分析：分别延长 PB、PC 至 B1、C1，使 PB1=3PB，PC1=7PC，可得P是三角形 AB1C1 的重心，三角形 AB1C1 的面积为 3S，可用S表示所要求的面积，进而可得答案．
解答：解：（如图）分别延长 PB、PC 至 B1、C1，使 PB1=3PB，PC1=7PC，
则由已知可得：
PA
+
PB1
+
PC1
=
0
，故点P是三角形 AB1C1 的重心，
设三角形 AB1C1 的面积为 3S，则S△APC1=S△APB1=S△PB1C1=S，
而S△APC=
1
7
S△APC1=
S
7
，S△ABP=
1
3
S△APB1=
S
3
，S△PBC=
1
3
×
1
7
S△PB1C1=
S
21
，
所以△PAC与△ABC面积的比为：
S
7
S
7
+
S
3
+
S
21
=
3
11
，
故答案为：
3
11
点评：本题考查向量式的几何意义，作辅助线得出点P是三角形 AB1C1 的重心是解决问题的关键，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知P为△ABC内一点，且3
AP
+4
BP
+5
CP
=0.延长AP交BC于点D，若
AB
=a，
AC
=b，用a、b表示向量
AP
、
AD
．
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=
3
，BC=1，P为△ABC内一点，
∠BPC=90°．
（1）若PC=
3
2
．求PA．
（2）若∠APC=120°，求△ABP的面积S．
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=
3
，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
（1）若PC=
3
2
．求PA．
（2）若∠APB=120°，求tan∠PAB的值．
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=
3
，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
（Ⅰ）若PB=
1
2
，求PA；
（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
已知P为△ABC内一点，且满足
PA
+2
PB
+3
PC
=
O
，记△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（　　）

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