题目内容

设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin(A-
π
6
)=cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值．
解法一：（Ⅰ）由已知有sinA•cos
π
6
-cosA•sin
π
6
=cosA，…（2分）
故sinA=
3
cosA，tanA=
3
．…（4分）
又0＜A＜π，
所以A=
π
3
．…（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得b=
a•sinB
sinA
=
4
3
sinB，c=
a•sinC
sinA
=
4
3
sinC，…（7分）
故b+c=
4
3
(sinB+sinC)．…（8分）sinB+sinC=sinB+sin(
2π
3
-B)=sinB+sin
2π
3
•cosB-cos
2π
3
•sinB=
3
2
sinB+
3
2
cosB
=
3
sin(B+
π
6
)．…（10分）
所以b+c=4sin(B+
π
6
)．
因为0＜B＜
2π
3
，所以
π
6
＜B+
π
6
＜
5π
6
．
∴当B+
π
6
=
π
2
即B=
π
3
时，sin(B+
π
6
)取得最大值1，
b+c取得最大值4．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得，4=b2+c2-bc，…（8分）
所以4=（b+c）2-3bc，即(b+c)2-3(
b+c
2
)2≤4，…（10分）
∴（b+c）2≤16，故b+c≤4．
所以，当且仅当b=c，即△ABC为正三角形时，b+c取得最大值4．…（12分）
练习册系列答案
相关题目
设△ABC的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知
a
sinA
=
3
b
cosB
．
（I）求角B的大小；
（II）若cos（B+C）+
3
sinA=2，且bc=4，求△ABC的面积．
设函数f(x)=2cosxsin(x+
π
6
)+2sinxcos(x+
π
6
)．
（I）当x∈[0，
π
2
]时，求f(x)的值域；
（II）设△ABC的三个内角A，B，C所对的三边依次为a，b，c，已知f(A)=1，a=
7
，△ABC面积为
3
3
2
，求b+c．
设△ABC的三个内角A、B、C对的边分别为a、b、c且a2+b2=mc2（m为常数），若tanC（tanA+tanB）=2tanAtanB，则实数m的值为
2
2
．
设△ABC的三个内角分别为A，B，C．向量
m
=(1，cos
C
2
)与
n
=(
3
sin
C
2
+cos
C
2
，
3
2
)共线．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，试判断△ABC的形状．
设△ABC的三个内角为A，B，C，则“sinA＞sinB”是“cosA＜cosB”的（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网