Question

数列{a_n}是首项a₁=4的等比数列，s_n为其前n项和，且S₃，S₂，S₄成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=log₂|a_n|，设T_n为数列{}的前n项和，求证T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，先看当q=1时，S₃，S₂，S₄不成等差数列，不符合题意，判断出q≠1，进而根据等比数列求和公式表示出S₃，S₂，S₄，根据等差中项的性质建立等式，求得q，则数列{a_n}的通项公式可得．
（Ⅱ）把（1）中的a_n代入b_n=，进而利用裂项法求得前n项的和，根据原式得证．
解答：解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q．
当q=1时，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差数列
∴q≠1，
2S₂=S₃+S₄，
∴，
即q⁴+q³-2q²=0．∵q≠0，q≠1，∴q=-2，
∴a_n=4（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹
（Ⅱ）b_n=log₂|a_n|=log₂|（-2）ⁿ⁺¹|=n+1，
∴
∴，
∴
点评：本题主要考查了数列的求和．应熟练掌握常用的数列求和的方法，如公式法，错位相减法，裂项法等．