Question

3．已知函数f（x）=b+log_ax（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）[f（x）]²=3f（x），求实数x的值；
（3）令y=g（x）=2f（x+1）-f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得b+log_a8=2，b+log_a1=-1，从而求解析式即可；
（2）[f（x）]²=3f（x），即f（x）=0或3，即可求实数x的值；
（3）化简g（x）=2[log₂（x+1）-1]-（log₂x-1）=log₂（x+$\frac{1}{x}$+2）-1，从而利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由已知得，b+log_a8=2，b+log_a1=-1，（a＞0且a≠1），
解得a=2，b=-1；
故f（x）=log₂x-1（x＞0）；
（2）[f（x）]²=3f（x），即f（x）=0或3，
∴log₂x-1=0或3，
∴x=2或16；
（3）g（x）=2f（x+1）-f（x）
=2[log₂（x+1）-1]-（log₂x-1）=log₂（x+$\frac{1}{x}$+2）-1≥1，
当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时，等号成立）．
于是，当x=1时，g（x）取得最小值1．

点评 本题考查了对数的运算及对数函数的应用，同时考查了基本不等式的应用．