Question

1．已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半．
（1）动点M的轨迹方程；
（2）求与点M的轨迹相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程．

Answer 1

分析 （1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（x-8）}^2}+{y^2}}$，即可求出动点M的轨迹方程；
（2）设所求直线方程为x+y=a，利用圆心到直线的距离，即可求出直线方程．

解答 解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（x-8）}^2}+{y^2}}$，
得 x²+y²=16
动点M的轨迹方程为x²+y²=16．
（2）设所求直线方程为x+y=a，
则圆心到直线的距离$d=\frac{|a|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=4$
解得$a=±4\sqrt{2}$
故所求直线方程为$x+y±4\sqrt{2}=0$

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．