Question

求满足下列条件的点及最大、最小值：

(1)已知点A(－3,5)、B(2,15),试在直线l:3x－4y＋4=0上找一点，使|PA|＋|PB|最小，并求出最小值;

(2)已知点A(4,1)、B(0,4)，试在直线l:3x－y－1=0上找一点P，使|PA|－|PB|的绝对值最大，并求出最大值.

Answer 1

解：(1)易求得A点关于l的对称点为A′(3,－3),直线A′B的方程为=,即  18x＋y－51=0.

解方程组得

∴所求P点的坐标为(,3).

此时，|PA|＋|PB|=|PA′|＋|PB|=|A′B|==5为所求最小值.

若在l上任取异于P点的任意点P′，则由|P′A|＋|P′B|=|P′A′|＋|P′B|＞|A′B|知只有P满足题意.

(2)易求B关于l的对称点B′(3,3).

直线AB′的方程为2x＋y－9=0与3x－y－1=0，联立得P(2,5).

此时，||PA|－|PB||=||PA|－|PB′||=|AB′|=为所求最大值.

若设l上异于P点的任一点P′，则有||PA′|－|P′B||=||P′A|－|P′B′||＜|AB′|.故所求P点满足题意.