Question

已知椭圆E的右焦点F₂与抛物线的焦点重合，对称轴为坐标轴，且经过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点且斜率存在的直线l交椭圆E于M、N两点，线段MN的中点为Q，点B（-1，0），当l⊥QB时，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）设椭圆E的方程为
∵抛物线的焦点为，∴F₂，∴a²-b²=3①--------（3分）
又过点，∴②
由①，②得：a²=4，b²=1
∴椭圆E的方程为-----（5分）
（2）设直线l的方程为：
由得（9+36k²）x²+120kx+64=0
由△=14400k²-256（9+36k²）＞0得：
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）则----（9分）
∵l⊥QB，∴，化简得：4k²-5k+1=0
解得：k=1或（舍去）
∴直线l的方程为-----（12分）
分析：（1）设出椭圆方程，利用椭圆E的右焦点F₂与抛物线的焦点重合，经过点，建立方程，求得几何量，即可求出椭圆E的方程；
（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及l⊥QB，即可求直线l的方程．
点评：本题考查抛物线的性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，正确运用韦达定理是关键．