Question

已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点（P、Q与A不重合），直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与x轴相交于同一点．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得c=1，利用离心率公式及a²=b²+c²，即可．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x-1，与椭圆方程联立得到根与系数的关系．利用点斜式分别写出直线AP、AQ的方程即可得出点M，N的坐标．只要证明k_BM-k_QB为0，即可得到三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．
解答：解：（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．
由题意可得，解得．
∴椭圆E的标准方程为．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x-1．
联立．消去x得到（3m²+4）y²+6my-9=0．
∴，．
直线AP的方程为，令x=4，得到y=，∴M．
直线AQ的方程为：，令x=4，得到，∴N．
∴k_BM-k_QB=-==，
其分子=3y₁（my₂+1-2）-y₂（my₁+1+2）=2my₁y₂-3（y₁+y₂）==0，
∴k_BM-k_QB=0，即k_BM=k_QB，
∴三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．
同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．
点评：本题中考查了椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、利用斜率相等证明三点共线等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．