Question

已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点（P、Q与A不重合），直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与x轴相交于同一点．

Answer 1

分析：（1）设椭圆E的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由题意可得c=1，利用离心率公式e=

c

a

及a²=b²+c²，即可．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x-1，与椭圆方程联立得到根与系数的关系．利用点斜式分别写出直线AP、AQ的方程即可得出点M，N的坐标．只要证明k_BM-k_QB为0，即可得到三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．

解答：解：（1）设椭圆E的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由题意可得

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得

a2=4 b2=3 c=1

．
∴椭圆E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x-1．
联立

my=x-1 x2 4 + y2 3 =1

．消去x得到（3m²+4）y²+6my-9=0．
∴y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

．
直线AP的方程为y=

y1

x1+2

(x+2)，令x=4，得到y=

6y1

x1+2

，∴M(4，

6y1

x1+2

)．
直线AQ的方程为：y=

y2

x2+2

(x+2)，令x=4，得到y=

6y2

x2+2

，∴N(4，

6y2

x2+2

)．
∴k_BM-k_QB=

6y1 x1+2

4-2

-

y2

x2-2

=

3y1

x1+2

-

y2

x2-2

=

3y1(x2-2)-y2(x1+2)

(x1+2)(x2-2)

，
其分子=3y₁（my₂+1-2）-y₂（my₁+1+2）=2my₁y₂-3（y₁+y₂）=

-18m

3m2+4

-

-18m

3m2+4

=0，
∴k_BM-k_QB=0，即k_BM=k_QB，
∴三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．
同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．

点评：本题中考查了椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、利用斜率相等证明三点共线等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．