Question

5．如图，某水域的两直线型岸边l₁，l₂ 成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l₁和l₂上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB=x公里，AC=y公里．
（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；
（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？

Answer 1

分析 （1）由S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC，将y表示成x的函数，由0＜y≤5，0＜x≤5，求其定义域；
（2）S=$\frac{1}{2}$xysinA=$\frac{1}{2}•x•\frac{x}{x-1}•$sin120°=$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{4（x-1）}$（$\frac{5}{4}$≤x≤5），变形，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）由S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC，得$\frac{1}{2}xsin60°+\frac{1}{2}ysin60°=\frac{1}{2}xysin120°$，
所以x+y=xy，所以y=$\frac{x}{x-1}$
又0＜y≤5，0＜x≤5，所以$\frac{5}{4}$≤x≤5，
所以定义域为{x|$\frac{5}{4}$≤x≤5}；
（2）设△ABC的面积为S，则结合（1）得：S=$\frac{1}{2}$xysinA=$\frac{1}{2}•x•\frac{x}{x-1}•$sin120°=$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{4（x-1）}$（$\frac{5}{4}$≤x≤5）
$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥4，当仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$，x=2时取等号．
故当x=y=2时，面积S取最小值\$\sqrt{3}$平方公里．
答：该渔民总共至少可以围出$\sqrt{3}$平方公里的养殖区．

点评 本题考查的是利用基本不等式解决实际问题，考查三角形面积的计算，正确计算面积，利用基本不等式是关键．