Question

20．数列{a_n}的前n项和记为S_n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S_n=a_m，则称{a_n}是“G数列”．
（1）若数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ，判断{a_n}是否为“G数列”；
（2）等差数列{a_n}，公差d≠0，a₁=2d，求证：{a_n}是“G数列”；
（3）设S_n与a_n满足（1-q）S_n+a_n+1=r，其中a₁=2t＞0，q≠0．若{a_n}是“G数列”，求q，r满足的条件．

Answer 1

分析 （1）通过n=1，a₁=S₁=2，然后求解数列的S_n，利用新定义判断即可．
（2）求出S_n，对任意n∈N^*，存在m∈N^*使S_n=a_m，利用新定义判断即可．
（3）n≥2时，推出a_n+1=qa_n，求出，通过q=1时，推出{a_n}不是“G数列”，q≠1时，求出S_n，利用新定义推出q=2，r=0，t＞0的正实数

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
当n=1时，a₁=S₁=2．
当n=1时，S₁=a₁．
当n≥2时，S_n=a_n+1．
∴{a_n}不是“G数列”
（2）S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=2dn+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=$\frac{1}{2}$n（n+3）d，a_m=a₁+（m-1）d=（m+1）d
对任意n∈N^*，存在m∈N^*使S_n=a_m，即$\frac{1}{2}$n（n+3）d=（m+1）d，
∵公差d≠0，
∴n（n+3）=2（m+1），
∵n，n+3是一奇一偶，
∴m一定是自然数，
∴{a_n}是“G数列”；
（3）n≥2时（1-q）S_n+a_n+1=r，（1-q）S_n-1+a_n=r（1-q）a_n+a_n+1-a_n=0，
∴a_n+1=qa_n，
（1-q）×2t+a₂=ra₂=r+2qt-2t=p，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2t，n=1}\\{p{q}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
q=1时，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2t，n=1}\\{r，n≥2}\end{array}\right.$，S_n=2t+（n-1）r=r不恒成立 显然{a_n}不是“G数列”，
q≠1时，S_n=2t+$\frac{p（1-{q}^{n-1}）}{1-q}$=2t+$\frac{p}{1-p}$-$\frac{p{q}^{n-1}}{1-q}$，
n=1，S₁=a₁，{a_n}是“G数列”，所以对任意n≥2时，存在m∈N^*成立，
∴S_n=2t+$\frac{p}{1-p}$-$\frac{p{q}^{n-1}}{1-q}$=pq^m-2可得$\frac{p{q}^{n-1}}{1-q}$=pq^m-2，即q^n-1=（q-1）q^m-2，解得q=2，
∴q=2，由2t+$\frac{p}{1-q}$，得p=2t，
由r+2qt-2t=p，∴r+4t-2t=2t，r=0，
∴q=2，r=0，t＞0的正实数．

点评 本题考查数列的应用，数列与函数相结合，考查新定义的应用，转化思想以及分析问题解决问题的能力．