Question

如图2-1所示,在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问与的夹角θ取何值时的值最大?并求出这个最大值.

图2-1

Answer 1

解法一：如图,∵⊥,∴·=0.

∵=-,=-,=-,

∴·=(-)·(-)

=·-·-·+·

=-a²-·+·

=-a²+·(-)

=-a²+·

=-a²+a²cosθ.

故当cosθ=1即θ=0(与方向相同)时, ·最大,其最大值为0.

解法二:以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示平面直角坐标系.

设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.

设点P的坐标为(x,y),则点Q(-x,-y).

∴=(x-c,y), =(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).

∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x²+y²)+cx-by.

∵cosθ=

∴cx-by=a²cosθ.

∴·=-a²+a²cosθ.

故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时, ·最大,其最大值为0.