Question

如图所示，在直角坐标平面上的矩形OABC中，|OA|=2，| OC |=

3

，点P，Q满足

OP

=

λOA

，

AQ

=( 1-λ )

AB

  ( λ∈R )，点D是C关于原点的对称点，直线DP与CQ相交于点M．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与点M的轨迹相交于E，F两点，求△AEF的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由向量运算得到直线DP的方程和直线CQ的方程，消去参数即可得到M的轨迹方程；
（2）欲求△AEF的面积的最大值，先将△AEF的面积表示成某个变量的函数，再利用基本不等式求函数的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），由图可知A（2，0），B ( 2 ， 

3

 )，C ( 0 ， 

3

 )，D ( 0 ， -

3

 )．
由

OP

=λ

OA

，得点P的坐标为（2λ，0）；
由

AQ

=( 1-λ )

AB

，得点Q的坐标为( 2 ， 

3

 ( 1-λ ) )．
于是，当λ≠0时，直线DP的方程为y+

3

=

3

2λ

x，①
直线CQ的方程为y-

3

=

3 λ

-2

x．②
①×②，得y2-3=-

3

4

x2，即

x2

4

+

y2

3

=1．
当λ=0时，点M即为点C，而点C的坐标( 0 ， 

3

 )也满足上式．
故点M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

（Ⅱ）设过点（1，0）的直线EF的方程为x=my+1，且设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
由

x=my+1   x2 4 + y2 3 =1

得（3m²+4）y²+6my-9=0．③
由于上述方程的判别式△=（6m）²+36（3m²+4）＞0，所以y₁，y₂是方程③的两根，
根据求根公式，可得| y1-y2 |=

12 m2+1

3m2+4

．
又A（2，0），所以△AEF的面积S=

1

2

| y1-y2 |=

6 m2+1

3m2+4

．
令

m2+1

=t（t≥1），则m²=t²-1．
于是S ( t )=

6t

3t2+1

=

2

t+ 1 3t

，t≥1．
记f ( t )=t+

1

3t

，t≥1，则f′ ( t )=1-

1

3t2

=

3t2-1

3t2

．
因为当t≥1时，f'（t）＞0，所以f ( t )=t+

1

3t

在[1，+∞）上单调递增．
故当t=1时，f（t）取得最小值

4

3

，
此时S ( t )=

2

t+ 1 3t

取得最大值

3

2

．
综上所述，当m=0时，即直线EF垂直于x轴时，△AEF的面积取得最大值

3

2

．

点评：本小题主要考查向量的运算、直线方程、求曲线的方程以及函数最值等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．