题目内容

（2013•汕头一模）已知函数．f（x）=Asin（
π
3
x+φ），x∈R，A＞0，0＜φ＜
π
2
，y=f（x）的部分图象如图所示，点R（0，
A
2
）是该图象上的一点，P，Q分别为该图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，且 
PR
•
PQ
=1．
（1）求φ和A的值；
（2）若f（
3α
π
）=
6
5
，求cos（2α+
π
3
）的値．
分析：（1）把点R（0，
A
2
）代入f（x）的解析式求得sinφ=
1
2
，可得φ 的值．求得 P（1，A），Q（4，-A），根据
PR
•
PQ
=1 求得 A=2，从而求得函数f（x）的解析式．
（2）由 f（
3a
π
）=
6
5
求得sin（α+
π
6
）=
3
5
，再利用二倍角公式求得cos（2α+
π
3
） 的值．
解答：解：（1）点R（0，
A
2
）是f（x）=Asin（
π
3
x+φ）的图象上的一点，∴sinφ=
1
2
，
再根据0＜φ＜
π
2
，可得 φ=
π
6
．
设点P的坐标为（x1，A），点Q的坐标为（x2，-A），由题意可得
π
3
•x1+
π
6
=
π
2
，
π
3
•x2+
π
6
=
3π
2
，
解得 x1=1，x2=4．
∴P（1，A），Q（4，-A）．
∵
PR
•
PQ
=1，∴（-1，-
A
2
）•（3，-2A）=-3+A2=1，∴A=2．
∴f（x）=2sin（
π
3
x+
π
6
）．
（2）∵f（
3α
π
）=2sin（
π
3
•
3α
π
+
π
6
）=2sin（α+
π
6
）=
6
5
，∴sin（α+
π
6
）=
3
5
，
∴cos（2α+
π
3
）=cos2（α+
π
6
）=1-2sin2(α+
π
6
)=1-
18
25
=
7
25
．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式、二倍角公式，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，
属于中档题．
练习册系列答案
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（2013•汕头一模）已知函数f（x）=x2-lnx．
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（2）求函数f（x）的单调递减区间：
（3）设函数g（x）=f（x）-x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e是为自然对数的底数）
（2013•汕头一模）广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：
幸福级别 非常幸福 幸福 不知道 不幸福
幸福指数（分） 90 60 30 0
人数（个） 19 21 7 3
（I）求这50位市民幸福指数的数学期望（即平均值）；
（11）以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列；
（III）从这50位市民中，先随机选一个人．记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n，求n＜m+60的概率P．
（2013•汕头一模）若曲线y=
x
与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2．则正实数a=
4
9
4
9
．
（2013•汕头一模）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
m
=(2sin
A
2
，
3
)，
n
=(cosA，2cos2
A
4
-1)，且
m
∥
n
．
（I）求角A的大小；
（II）若a=
7
且△ABC的面积为
3
3
2
，求b十c的值．
（2013•汕头一模）已知函数f1(x)=e|x-a|，f2(x)=ebx．
（I）若f（x）=f1（x）+f2（x）-bf2（-x），是否存在a，b∈R，y=f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
〔II）若a=2，b=1．求函数g（x）=f1（x）+f2（x）在R上的单调区间；
（III ）对于给定的实数?x0∈[0，1]，对?x∈[0，1]，有|f1（x）-f2（x0）|＜1成立．求a的取值范围．

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