Question

如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．

（1）求证：⊥

（2）若，，为的中点，求二面角的平面角的余弦值

 

 

Answer 1

（1）证明：见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据三棱柱 为直三棱柱，

平面，又平面， 加之 平面,平面,，

平面，

即可得证．

（2）由（1）知平面，平面,从而

如图,以B为原点建立空间直角坐标系

平面，其垂足落在直线上,

．

确定得到（0,0,0）,,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,

（0，2，2）

求平面的一个法向量、平面的一个法向量，得到二面角平面角的余弦值是（2）也可利用求解．

试题解析：（1）证明：三棱柱 为直三棱柱，

平面，又平面，

-平面，且平面，

． 又 平面,平面,，

平面，

又平面，

（2）由（1）知平面，平面,从而

如图,以B为原点建立空间直角坐标系

平面，其垂足落在直线上,

．

在中，，AB=2，

,

在直三棱柱 中，．

在中， ,

则（0,0,0）,,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,

（0，2，2）

设平面的一个法向量

则 即 可得

设平面的一个法向量

则 即

可得

二面角平面角的余弦值是 12分

（2）或在中，，AB=2,则BD=1 可得D（

二面角平面角的余弦值是 12分

考点：1．空间几何体的特征；2．垂直关系；3．空间的角；4．空间向量方法．