Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,焦距为 2，一条准线方程为，为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若点的坐标为，求过三点的圆的方程；

(3)若，且，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】分析：（1）根据椭圆的焦距为2，一条准线方程为，求出a，b，即可求椭圆的方程；

（2）直线的方程为x-y+1=0，代入椭圆方程，求出Q的坐标，利用圆的一般方程，建立方程组，即可求过P，Q，三点的圆的方程；

（3）由，可得P，Q坐标之间的关系，利用向量数量积公式，结合，利用基本不等式，即可求出的最大值.

解析：解(1)由题意得解得，

所以.

所以椭圆的方程为.

(2)因为,，所以的方程为.

由 解得 或

所以点的坐标为.

设过三点的圆为，

则 解得.

所以圆的方程为.

(3)设，，则，.

因为，所以即

所以，，解得.

所以

因为，所以，当且仅当，即时取等号.

所以,即的最大值为.