Question

【题目】已知函数，在处取极大值，在处取极小值.

(1)若，求函数的单调区间和零点个数；

(2)在方程的解中，较大的一个记为；在方程的解中，较小的一个记为，证明：为定值；

(3)证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为；3个零点（2）-1(3)见解析

【解析】分析：（1）当时，求导即可得到单调区间，再利用零点存在定理判定零点即可；

（2）因为，可知. 因为，即，可知，同理，得到，即可证明；

（3）要证，即要证.

设，求导，通过单调性可知，再设，求导，通过单调性可知，，

因为，所以，，且和分别在和2.处取最大值和最小值，因此恒成立，即当时，.

解析：解(1)当时，，；

当时，或；当时，；

即函数的单调增区间为；单调减区间为；

又，，，，所以有3个零点.

(2)因为，则，

可知.

因为，即，

即

.

可知，

同理，由可知

；

得到；

.

(3)要证，即要证.

设，则；当时，；当时，；

可知；

再设，则；当时，；当时，；

可知，.

因为，所以，，且和分别在和2处取最大值和最小值，因此恒成立，即当时，.

(3)另证：一方面，易证；（略）

另一方面，当 时，；

又；

所以，，

且不存在正数，使得其中等号同时成立，故.