Question

【题目】已知椭圆：的右焦点为，设过的直线的斜率存在且不为0，直线交椭圆于，两点，若中点为，为原点，直线交于点．

（1）求证：；

（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

试题分析：

(1)设直线的斜率为（），联立直线方程与椭圆方程可得．结合韦达定理可得线段中点的坐标为．据此计算可得直线的斜率为，则.

(2)考查．换元令，则．结合二次函数的性质可得时，取最大值3，此时取最大值．

试题解析：

（1）证明：设直线的斜率为（），则直线的方程为，

联立方程组消去可得．

设，，则于是有，

所以线段中点的坐标为．

又直线的斜率，因此直线的方程为，它与直线的交点，故直线的斜率为，于是．　

因此.

（2）解：记

．

令，则．

因为，所以．

故当时，即时，取最大值3．

从而当时，取最大值．