Question

如图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

 ）的图象的一段．
（1）试确定函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式．
（2）求函数g（x）=log

1

2

f(x)的单调递减区间．并利用图象判断方程f（x）=3lgx解的个数．

Answer 1

分析：（1）由图可知A=3，利用其周期为π，可求得ω，再利用y=f（x）过（

π

3

，0）可求得φ，从而可得函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式；
（2）利用复合函数的单调性，只需求f（x）=3sin（2x+

π

3

）＞0的单调递增区间即可；作出y=3lgx与f（x）=3sin（2x+

π

3

）的图象即可求得答案．

解答：解：（1）由图知A=3，

1

2

T=

5π

6

-

π

3

=

π

2

，
∴T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
又2×

π

3

+φ=π，
∴φ=

π

3

∴f（x）=3sin（2x+

π

3

）．
（2）∵g（x）=log

1

2

f(x)=log

1

2

3sin(2x+

π

3

)是复合函数，外层的对数函数单调递减，
∴f（x）=3sin（2x+

π

3

）＞0且单调递增，
∴2kπ＜2x+

π

3

＜2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴kπ-

π

6

＜x＜kπ+

π

6

，k∈Z．
∴g（x）=log

1

2

f(x)的单调递减区间为（kπ-

π

6

，kπ+

π

6

）k∈Z．
在同一直角坐标系中作出y=3lgx与f（x）=3sin（2x+

π

3

）的图象，

由图可知，两函数图象有7个交点，故方程f（x）=3lgx有7个解．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查根的存在性及根的个数判断，考查复合函数的单调性，作图是难点，属于难题．