Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2．
（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）判断∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在Rt△PDA中，求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（2）说明AD⊥DC，通过AD⊥PD，CD∩PD=D，证明AD⊥平面PDC，然后证明平面PDC⊥平面ABCD．
（3）在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，求出PE，PB，在Rt△PEB中，通过sin∠PBE=，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
解答：（1）解：如图，在四棱锥P-ABCD中，
因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且AD∥BC，
又因为AD⊥PD，
故∠PAD为异面直线PA与BC所成角，
在Rt△PDA中，=2，
所以异面直线PA与BC所成角的正切值为：2．
（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥DC，
由于AD⊥PD，CD∩PD=D，
因此AD⊥平面PDC，而AD⊆平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．
（3）解：在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．
由于平面PDC⊥平面ABCD，
而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，
故PE⊥平面ABCD．
由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，
在△PDC中，
由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，
在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=．
由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，
因此BC⊥PC．
在Rt△PCB中，PB==．
在Rt△PEB中，sin∠PBE==．
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为．
点评：本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力．