Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AB=AA₁，则AC₁与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为

 

．

Answer 1

分析：根据题，过取BC的中点E，连接C₁E，AE，证明AE⊥面BB₁C₁C，故∴∠AC₁E就是AC₁与平面BB₁C₁C所成的角，解直角三角形AC₁E即可．

解答：解：取BC的中点E，连接C₁E，AE
则AE⊥BC，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
面ABC∩面BB₁C₁C=BC，
∴AE⊥面BB₁C₁C，
∴∠AC₁E就是AC₁与平面BB₁C₁C所成的角，
在Rt△AC₁E中，∵AB=AA₁，
sin∠AC₁E=

AE

AC1

=

3 2

2

=

6

4

．
故答案为：

6

4

．

点评：考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题