Question

18．设F₁，F₂分别是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₁倾斜角为45°的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|=$\frac{4a}{3}$
（Ⅰ）求E的离心率
（Ⅱ）设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．

Answer 1

分析 （I）由题意可得直线l的方程为：y=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（a²+b²）x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0，利用根与系数的关系代入|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4a}{3}$，化简即可得出．
（II）设线段AB的中点M（x₀，y₀）．可得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2c}{3}$．y₀=x₀+c．根据点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，可得PM⊥AB，k_PM•k_AB=-1，解得c．a²=b²+c²=2b²，解得b，a．

解答 解：（I）由题意可得直线l的方程为：y=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（a²+b²）x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2c{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{4{c}^{2}{a}^{4}}{（{a}^{2}+{b}^{2}）^{2}}-\frac{4（{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}]}$=$\frac{4a}{3}$，
化为：a²=2b²．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（II）设线段AB的中点M（x₀，y₀）．
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=-$\frac{2c}{3}$．y₀=x₀+c=$\frac{1}{3}$c．
∵点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，∴PM⊥AB，
∴k_PM•k_AB=$\frac{-1-\frac{1}{3}c}{0+\frac{2c}{3}}$×1=-1，解得c=3．
∴a²=b²+c²=2b²，解得b=c=3，a²=18．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．