Question

【题目】已知函数， ， ， ．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在最大值， 存在最小值，且，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）在递增，在递减．（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）当求出函数的导数，解关于导函数的不等式，可求出函数的单调区间即可；；（2）求出的导数，构造函数求出的表达式，构造函数，根据函数的单调性证出结论.

试题解析：

（1）由题意知， ， ，

时， ， 在递减，

时，令 ，令 ，

∴在递增，在递减.

（2）证明： ，

时， 恒成立， 在递增，无最小值，

由（1）知，此时无最大值，故.

令，则，

∵， ，

故存在唯一，使得，即，

列表如下：

由（1）得：

， ，

由题意，即，将代入上式有：

化简得： （*）

构造函数， ，

显然单调递增，且， ，

则存在唯一，使得.

且时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增.

又，故只会在有解，

而

故（*）的解是，则.