Question

【题目】已知函数， 为其导函数.

(1) 设，求函数的单调区间；

(2) 若, 设， 为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为 证明： .

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围， 得增区间， 得减区间即可；（2）问题转化为证明令 ，根据函数单调性证明即可.

试题解析：(1) ,

①时， 定义域为

上，故在上单调递减；

上，故在上单调递增.

②时， 定义域为

上，故在上单调递增；

上，故在上单调递减.

(2)

，故在定义域上单调递增.

只需证： ，即证 (*)

注意到 不妨设.

令，

则 ，从而在上单减，

故， 即得(*)式.

法二：(2) 故在定义域上单调递增.

注意到且

设，则单调递增且图象关于中心对称.

构造函数，

，

当时, , 单增；当时, , 单减,

故，且等号仅在处取到. 所以与图象关系如下：

取，则显然有, 从而，

另外由三次函数的中心对称性可知，则有 .