题目内容
空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F、G分别是AB、BC、CA、AP的中点，下列四个结论中成立的是①BC∥平面PDF
②DF⊥平面PAE
③平面GDF∥平面PBC
④平面PAE⊥平面ABC．
考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质
专题：空间位置关系与距离
分析：由BC∥DF，得BC∥平面PDF；由DE⊥BC，AE⊥BC，得BC⊥平面PAE，由DF∥BC，得到DF⊥平面PAE；由DG∥PB，GF∥PC，DG∩GF=G，DG，GF?平面GDF，得平面GDF∥平面PBC；由BC⊥平面PAE，BC?平面ABC，得平面PAE⊥平面ABC．
解答：
解：∵空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，
D、E、F、G分别是AB、BC、CA、AP的中点，
∴BC∥DF，又BC不包含于平面PDF，DF?平面PDF，
∴BC∥平面PDF，故①正确；
∵DE⊥BC，AE⊥BC，DE∩AE=E，
∴BC⊥平面PAE，
∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故②正确；
∵DG∥PB，GF∥PC，DG∩GF=G，DG，GF?平面GDF，
∴平面GDF∥平面PBC，故③正确；
∵BC⊥平面PAE，BC?平面ABC，
∴平面PAE⊥平面ABC，故④正确．
故答案为：①②③④．
D、E、F、G分别是AB、BC、CA、AP的中点，
∴BC∥DF，又BC不包含于平面PDF，DF?平面PDF，
∴BC∥平面PDF，故①正确；
∵DE⊥BC，AE⊥BC，DE∩AE=E，
∴BC⊥平面PAE，
∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故②正确；
∵DG∥PB，GF∥PC，DG∩GF=G，DG，GF?平面GDF，
∴平面GDF∥平面PBC，故③正确；
∵BC⊥平面PAE，BC?平面ABC，
∴平面PAE⊥平面ABC，故④正确．
故答案为：①②③④．
点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
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