Question

6．已知集合A={x|x²-（3a+3）x+2（3a+1）＜0，x∈R}，集合B={x|$\frac{x-a}{x-（a+1）}$＜0．
（1）求2∉B时，求实数a的取值范围；
（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出集合B={x|a＜x＜a+1}，根据条件2∉B即可得到2≤a，或2≥a+1，这样即得出实数a的取值范围；
（2）可得到方程x²-（3a+3）x+2（3a+1）=0的两根为2，3a+1，为写成集合A，从而要讨论2和3a+1的关系：3a+1＞2，或3a+1＜2，然后根据B⊆A求出每种情况的a的范围，再求并集即可得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）B={x|a＜x＜a+1}，2∉B；
∴2≤a，或2≥a+1；
∴a≥2，或a≤1；
∴实数a的取值范围为（-∞，1]∪[2，+∞）．
（2）x²-（3a+3）x+2（3a+1）=（x-2）[x-（3a+1）]；
∵B⊆A，∴3a+1≠2；
①若3a+1＞2，即a＞$\frac{1}{3}$，A={x|2＜x＜3a+1}；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a+1≤3a+1}\end{array}\right.$；
∴a≥2；
②若3a+1＜2，即$a＜\frac{1}{3}$，A={x|3a+1＜x＜2}；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥3a+1}\\{a+1≤2}\end{array}\right.$；
∴$a≤-\frac{1}{2}$；
∴综上得实数a的取值范围为：（-∞，$-\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．

点评 考查分式不等式及一元二次不等式的解法，元素与集合的关系，以及子集的概念．