Question

7．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m³，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设长方体底面长为xm，由于地形限制，0＜x≤a，水池总造价为f（x）元．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）分别计算池底与池壁的造价，可得f（x）的解析式；
（2）分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，可求f（x）的最小值．

解答 解：（1）因水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为$\frac{4800}{3x}$m，--（1分）
根据题意，得f（x）=150×$\frac{4800}{3}$+120（2×3x+2×3×$\frac{4800}{3x}$）=240000+720（x+$\frac{1600}{x}$）
∴所求的函数表达式为：f（x）=720（x+$\frac{1600}{x}$）+240000（0＜x≤a）-----------（6分）
（2）由（1）得，a≥40，f（x）=720（x+$\frac{1600}{x}$）+240000≥720×2$\sqrt{x•\frac{1600}{x}}$+240000-----------（9分）
=720×2×40+240000=297600．-----------（10分）
当且仅当x=$\frac{1600}{x}$，即x=40时，f（x）有最小值297600．
a＜40时，y=x+$\frac{1600}{x}$在（0，a]上单调递减，∴x=a时，f（x）有最小值720（a+$\frac{1600}{a}$）+240000（---12分）

点评 本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．