Question

2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象与x轴的交点为（-$\frac{π}{6}$，0），与此交点距离最小的最高点坐标为（$\frac{π}{12}$，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求出f（x）的对称中心的坐标；
（Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（-1＜a＜0），求在[0，2π]内的所有实数根之和；
（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的2倍，然后向右平移$\frac{2π}{3}$个单位，再把纵坐标伸长为原来的2倍，最后向上平移1个单位得到函数g（x）的图象．若对任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在区间[0，$\frac{5π}{6}$]上至少有一个解，求正实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）有周期求得ω，由图象的最高点坐标求得A，根据特殊点的坐标求得φ的值，可得f（x）的解析式，利用正弦函数的图象的对称性求得它的图象的对称中心的坐标．
（Ⅱ）根据函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象和直线y=a的交点关于直线2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$对称，求得方程f（x）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]内的所有实数根之和．
（Ⅲ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域以及m的范围，求得k的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得A=1，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$，∴ω=2，再根据它的图象经过点（-$\frac{π}{6}$，0），
可得sin[2×（-$\frac{π}{6}$）+φ]=0，∴sin（φ-$\frac{π}{3}$）=0，
再结合，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，故函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令 2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，可得x=k•$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，故它的如图象的对称中心为（k•$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，0）．
（Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（-1＜a＜0），即sin（φ-$\frac{π}{3}$）=a，
由于函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象和直线y=a的交点关于直线2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$对称，
故方程f（x）=a的两个实数根m、n满足2•$\frac{m+n}{2}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，
 故在[0，2π]内的所有实数根之和m+n=$\frac{7π}{6}$．
（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的2倍，可得y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象；
然后向右平移$\frac{2π}{3}$个单位，可得y=sin（x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象；
再把纵坐标伸长为原来的2倍，可得y=2sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象；
最后向上平移1个单位得到函数g（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1 的图象，故g（kx）=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1．
若对任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在区间[0，$\frac{5π}{6}$]上至少有一个解，
则|2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1|=m在区间[0，$\frac{5π}{6}$]上至少有一个解．
由kx-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{（5k-2）π}{6}$]，∴$\frac{5k-2}{6}$•π≥$\frac{π}{2}$，求得k≥1．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．