Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=3，AC=BC=2，D为AB中点，E为BB₁上一点，且

BE

EB1

=λ．
（Ⅰ）当λ=

2

7

时，求证：CE⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）若直线CE与平面A₁DE所成的角为30°，求λ的值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明

CE

•

C1A1

=0，

CE

•

C1D

=0，即可证明CE⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）求出平面A₁DE的一个法向量，直线CE的向量，根据直线CE与平面A₁DE所成的角为30°，利用向量的夹角公式，即可求λ的值．

解答： （Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（2，0，3），B₁（0，2，3），C₁（0，0，3），D（1，1，0），
∵λ=

2

7

，∴E(0，2，

2

3

)，
∴

CE

=(0，2，

2

3

)…（3分）
又

C1A1

=(2，0，0)，

C1D

=(1，1，-3)
∴

CE

•

C1A1

=0，

CE

•

C1D

=0，
∴CE⊥平面A₁C₁D；…（6分）
（Ⅱ）解：由题知E(0，2，

3λ

1+λ

)，

CE

=(0，2，

3λ

1+λ

)，

A1D

=(-1，1，-3)，

DE

=(-1，1，

3λ

1+λ

)，
∴平面A₁DE的一个法向量为

n

=(3+

3λ

1+λ

，3+

3λ

1+λ

，0)…（9分）
∴|

n • CE

| n || CE |

|=

1

2

即

2(3+ 3λ 1+λ )

4+( 3λ 1+λ )2 • 2 (3+ 3λ 1+λ )

=

1

2

解得λ=2．…（13分）

点评：本题考查线面垂直，考查直线与平面所成的角，考查向量知识的运用，确定向量的坐标是关键．